【導(dǎo)讀】本文討論了信號(hào)經(jīng)過傅立葉變換所得頻譜的物理意義，其中著重于負(fù)頻率成分。許多信號(hào)與系統(tǒng)的教材中，都認(rèn)為負(fù)頻率成分沒有物理意義。本文以多方面的實(shí)例證明了負(fù)頻率成分不但具有明確的物理意義，而且有重要的工程應(yīng)用價(jià)值。文章還用Matlab程序演示了如何用幾何方法求傅立葉反變換，把集總頻譜合成為時(shí)域信號(hào)，從中也可鮮明地看出負(fù)頻率成分的意義。
1．負(fù)頻率與復(fù)信號(hào)
頻率f的原始定義是每秒出現(xiàn)的次數(shù)，可用以衡量機(jī)械運(yùn)動(dòng)、電信號(hào)、乃至任何事件重復(fù)出現(xiàn)的頻度，這當(dāng)然不存在有“負(fù)”的概念。當(dāng)用頻率描述圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)（即進(jìn)入了二維信號(hào)平面），產(chǎn)生了角頻率 ω”的概念，從機(jī)械旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)出發(fā)，
定義為角速度，對(duì)于周期運(yùn)動(dòng)，角速度也就是角頻率。通常 θ以反時(shí)針為正，因此轉(zhuǎn)動(dòng)的正頻率是反時(shí)針旋轉(zhuǎn)角速度，負(fù)頻率就是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角速度。正、負(fù)號(hào)是非常自然形成的，沒有物理意義的有無問題。電的單位向量（電壓或電流）圍繞原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)，可以用
表示，這是在電路中都清楚的。θ的正負(fù)所代表的物理意義從未有什么爭(zhēng)議，它的導(dǎo)數(shù)
的物理意義不言自明，取正取負(fù)都不影響定義，為什么取負(fù)就會(huì)失去物理意義了呢？在信號(hào)與系統(tǒng)課程中，為了簡(jiǎn)化問題，便于初學(xué)者掌握概念，開宗明義地把研究范圍限定于實(shí) 信 號(hào) f(t) ， 也就是在電壓旋轉(zhuǎn)向量
中，只研究它在實(shí)平面或虛平面上的一個(gè)投影 sin(ωt)或 cos(ωt)，研究復(fù)信號(hào)
的特性與只研究實(shí)信號(hào)
定義為角速度，對(duì)于周期運(yùn)動(dòng)，角速度也就是角頻率。通常 θ以反時(shí)針為正，因此轉(zhuǎn)動(dòng)的正頻率是反時(shí)針旋轉(zhuǎn)角速度，負(fù)頻率就是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角速度。正、負(fù)號(hào)是非常自然形成的，沒有物理意義的有無問題。電的單位向量（電壓或電流）圍繞原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)，可以用表示，這是在電路中都清楚的。θ的正負(fù)所代表的物理意義從未有什么爭(zhēng)議，它的導(dǎo)數(shù)的物理意義不言自明，取正取負(fù)都不影響定義，為什么取負(fù)就會(huì)失去物理意義了呢？在信號(hào)與系統(tǒng)課程中，為了簡(jiǎn)化問題，便于初學(xué)者掌握概念，開宗明義地把研究范圍限定于實(shí) 信 號(hào) f(t) ， 也就是在電壓旋轉(zhuǎn)向量中，只研究它在實(shí)平面或虛平面上的一個(gè)投影 sin(ωt)或 cos(ωt)，研究復(fù)信號(hào)的特性與只研究實(shí)信號(hào) sin(ωt)或 cos(ωt) 是兩個(gè)不同的層次。前者是反映信號(hào)在空間的全面特性，如圖1 所示。后者只研究了信號(hào)在一個(gè)平面（x-t或y-t組成的平面）上投影的特性。這就必然要丟掉一些重要的信息，以致 x=sin(ωt) 與sin(-ωt)在x-t平面中的波形沒有任何差別，這是人們對(duì)負(fù)頻率的意義產(chǎn)生疑問的直接原因之一。很顯然，在x-t或y-t的平面內(nèi)，是不可能看出旋轉(zhuǎn)的。既看不到θ，更看不到ω。只有在x-y平面上才能看到這兩個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù)。
2．復(fù)信號(hào)與實(shí)信號(hào)的頻譜
同樣，用ejtω或 sin(ωt)或 cos(ωt)作為核來做傅立葉變換所得的結(jié)果也是前者全面，后者片面。對(duì)實(shí)信號(hào)做傅立葉變換時(shí)，如果用指數(shù)為核，將得到雙邊頻譜。以角頻率為?的余弦信號(hào)為例，它有具有位于±?兩處的、幅度各為 0.5、相角為零的頻率特性。它的幾何關(guān)系可以用圖2表示。兩個(gè)長(zhǎng)度為 0.5 的向量，分別以±?等速轉(zhuǎn)動(dòng)，它們的合成向量就是沿實(shí)軸方向的余弦向量。而沿虛軸方向的信號(hào)為零。可見必須有負(fù)頻率的向量存在，才可能構(gòu)成純 粹的實(shí)信 號(hào) 。 所以歐公式
是有其明確的幾何意義（即物理意義）的。在文獻(xiàn)[1]中給出了動(dòng)畫，并給出了正、負(fù)數(shù)字頻率的幾何解釋。
是有其明確的幾何意義（即物理意義）的。在文獻(xiàn)[1]中給出了動(dòng)畫，并給出了正、負(fù)數(shù)字頻率的幾何解釋。
3．雙邊頻譜的工程應(yīng)用
正余弦信號(hào)中包括正負(fù)雙邊頻譜，不僅有物理意義，而且具有重要的工程價(jià)值。
1）二相異步電機(jī)的設(shè)計(jì)
根據(jù)這個(gè)概念，可以用兩路在空間正交的實(shí)信號(hào)來構(gòu)成旋轉(zhuǎn)電磁場(chǎng)，設(shè)計(jì)電動(dòng)機(jī)。上面給出了單位余弦波在正負(fù)兩個(gè)頻率上有幅度相等，相角均為零的兩根譜線；同樣，單位正弦波在同樣正負(fù)兩個(gè)頻率上也有幅度相等的譜線，不過它們的相角分別為±π/2。用立體圖表示如圖 3(a)。
如果把正弦和余弦兩個(gè)信號(hào)的正頻率成分設(shè)計(jì)得相等相反，則把它們合成以后，就只剩下負(fù)頻率成分，它就構(gòu)成一個(gè)單純負(fù)向旋轉(zhuǎn)的電信號(hào)。為此可以把正弦信號(hào)在空間上轉(zhuǎn)動(dòng)π/2，使它的正頻率譜線恰好與余弦信號(hào)的正頻率譜線反向，這樣兩個(gè)信號(hào)的合成（見圖3(b)）就成為一個(gè)只有負(fù)頻率譜線的信號(hào)，當(dāng)然它在時(shí)域必然是復(fù)數(shù)信號(hào)。常用的二相異步電機(jī)就是這樣負(fù)向轉(zhuǎn)動(dòng)的。而要使該電機(jī)正轉(zhuǎn)，則要使兩者的負(fù)頻率成分互相抵消，只保留其正頻率成分。
2）通信領(lǐng)域中的 Hilbert 變換
實(shí)信號(hào)的雙邊頻譜是對(duì)稱的。如果它的單邊頻帶寬 W，考慮到負(fù)頻率成分，實(shí)際占的頻譜區(qū)域就是±W，所以通信中要傳輸這樣的信號(hào)就需要占用 2W的頻帶寬度。為了節(jié)省頻帶，人們就發(fā)明了 Hilbert 變換，它可以把信號(hào)的正頻率頻譜移相-90°，把負(fù)頻率頻譜移相90°，然后再將這個(gè)信號(hào)移相90°與原信號(hào)相加，使兩者的負(fù)頻率成分互相抵消，正頻率成分加倍，構(gòu)成一個(gè)沒有負(fù)頻率頻譜的復(fù)信號(hào),（如同上面所說的二相異步電機(jī)那樣）。這個(gè)復(fù)信號(hào)的帶寬就只占 W 了。用這個(gè)方法，使頻帶節(jié)約了一半。在這里，可以看到負(fù)頻率成分的重要性，在傳送信號(hào)時(shí)。
它是不可或缺的部分。另外，也看到負(fù)頻率成分與復(fù)信號(hào)的密切關(guān)系。
3）產(chǎn)生任意的平面運(yùn)動(dòng)軌跡
文獻(xiàn)[5]曾提出根據(jù)傅立葉反變換原理產(chǎn)生平面運(yùn)動(dòng)軌跡的方法。從上面歐拉公式的幾何意義不難得知，傅立葉反變換公式其實(shí)表示了多個(gè)頻譜旋轉(zhuǎn)向量的合成，這些向量的頻率規(guī)定了它信號(hào)的實(shí)部，在 y軸上的投影是信號(hào)的虛部。
不難設(shè)計(jì)出一個(gè)程序來演示這個(gè)過程，在[2,3]中編寫了一個(gè)MATLAB 程序，程序名為 exn941。它把四個(gè)集總頻譜合成起來。假如給出這些頻譜分量如下：
a(1) = 1， ω(1) = 1； a(2) = 1， ω(2) = －1； a(3) = 0.5，ω(3) = 3；a(4) = 0.5，ω(4) = －4；
在此處，為了顯示復(fù)信號(hào)，有意把輸入頻譜設(shè)成不對(duì)稱的，見圖5(d)。于是讀者將看到四節(jié)桿的運(yùn)動(dòng)動(dòng)畫，并得到桿系及其末端在復(fù)平面上的軌跡（圖4），改變了比例尺后為圖 5 (a)。將它在x，y兩方向的投影與時(shí)間軸的關(guān)系畫在圖5(b)和(c)中，就得到信號(hào)與系統(tǒng)課程中常見的實(shí)信號(hào)曲線。
輸入頻譜的幅度可以是負(fù)數(shù)，也可以是虛數(shù)，甚至可以是復(fù)數(shù)，它不僅反映了頻譜的大小，還反映了該向量的起始相位；頻譜的頻率則只能是有正負(fù)號(hào)的實(shí)數(shù)，正頻率和負(fù)頻率以及在該頻率上頻譜的意義在此不言自明。讀者可以做各種各樣的試驗(yàn)。例如當(dāng)兩組頻率具有倍頻關(guān)系時(shí)，得到的是周期信號(hào)，如果頻率比是無理數(shù)，那將得出非周期的信號(hào)；另外，這樣的演示只適用于集總頻譜，對(duì)于分布的頻譜密度，就要把它想象為若干小的集總頻譜的疊合。
總之有了這樣的形象演示，可以大大擴(kuò)展時(shí)域信號(hào)與頻域譜之間關(guān)系的思維空間。
4）多普勒頻率
多普勒頻率又是一個(gè)負(fù)頻率的實(shí)例，如果信號(hào)的發(fā)射源向我們運(yùn)動(dòng)而來，那么多普勒頻率就是正頻率；如果信號(hào)的發(fā)射源向我們遠(yuǎn)離而去，那么多普勒頻率就是負(fù)頻率，在這里正負(fù)頻率都是有明確物理意義的。多普勒頻率雖是一種差頻，它表現(xiàn)為合成信號(hào)的包絡(luò)頻率，因此仍然符合上述的原理，在實(shí)信號(hào)域只能求出多普勒頻率的大小，但檢測(cè)不出它的正負(fù)。要得到負(fù)頻率，必須從復(fù)信號(hào)域考慮。可見，不懂得這一點(diǎn)，就無法找到多普勒測(cè)速的原理框圖。
5）機(jī)械工程領(lǐng)域的應(yīng)用
關(guān)于二維信號(hào)的傅立葉變換，國內(nèi)早已有學(xué)者將其應(yīng)用于工程領(lǐng)域，參見文獻(xiàn)[4]、 [5]。這些都是說明頻譜中負(fù)頻率物理意義的實(shí)際例證。
4．在對(duì)負(fù)頻率認(rèn)識(shí)中存在的問題
頻譜中負(fù)頻率成分的物理意義往往不為某些人們理解，其主要原因是他們忘記了實(shí)信號(hào)平面內(nèi)研究問題的局限性。因?yàn)樵谛盘?hào)與系統(tǒng)課程中研究的信號(hào)通常只限于實(shí)信號(hào)。從實(shí)信號(hào)的x-t的波形圖上根本看不出頻率的轉(zhuǎn)向和正負(fù)，頻率只能表現(xiàn)為每秒信號(hào)重復(fù)的次數(shù)。分不清正負(fù)就以為是正頻率，只是一種習(xí)慣性的思維方法而已。
歸根到底，轉(zhuǎn)角和頻率的正負(fù)，必須在x-y平面或二維信號(hào)中才能觀察到。因?yàn)橛^察的方法不對(duì)，看不到其意義，從而否認(rèn)它的存在，這是認(rèn)識(shí)論上的錯(cuò)誤，不是科學(xué)的方法。這就和“瞎子摸象”的故事所說的那樣，摸象腿的人否認(rèn)象有鼻子，毛病出在他的驗(yàn)證方法。他老想在象腿（實(shí)信號(hào)域）上找到象鼻子（負(fù)頻率），當(dāng)然也永遠(yuǎn)找不到。正確的方法是必須換一個(gè)角度，摸別的部位（復(fù)信號(hào)域），才能得到全面的知識(shí)。
某些學(xué)者不承認(rèn)負(fù)頻率是由于把“頻率是每秒鐘循環(huán)的次數(shù)”的陳舊概念絕對(duì)化，其實(shí)頻率的概念是不斷發(fā)展充實(shí)的。每秒次數(shù)的概念只能粗糙地研究信號(hào)外部形態(tài)，無法涉及信號(hào)每周期內(nèi)部的細(xì)微波形特征，而這恰好是傅立葉變換的任務(wù)。從它的核已經(jīng)可以清楚地看到，正是它摒棄（或發(fā)展）了原始的頻率定義，采用了角頻率的概念。單位是弧度/秒，而且具有明確的方向和正負(fù)號(hào)。其實(shí)頻率的概念還在繼續(xù)發(fā)展，進(jìn)入到數(shù)字信號(hào)處理時(shí)又進(jìn)一步出現(xiàn)了數(shù)字頻率，它的單位是弧度（去掉了分母上的“秒”），取值范圍是[-π，π]。它的物理意義已變?yōu)閮纱尾蓸訒r(shí)刻之間向量轉(zhuǎn)過的角度，在文獻(xiàn)[1]中對(duì)此有詳細(xì)的說明。如果停留在“每秒次數(shù)”的舊概念上，那“數(shù)字信號(hào)處理”也就無法發(fā)展了。
5．從認(rèn)識(shí)論角度糾正對(duì)負(fù)頻率的錯(cuò)誤說法
這個(gè)問題是從教學(xué)中提出的，作者在旁聽“信號(hào)與系統(tǒng)”課程時(shí)，在老師的幻燈片上看到了 “關(guān)于雙邊譜，負(fù)頻率只有數(shù)學(xué)意義，沒有物理意義”的提法。我們覺得這是個(gè)錯(cuò)誤，而且恐怕不是個(gè)別老師的想法。回來一查，果然如此，很多相當(dāng)權(quán)威的主流教材上都這么寫。
其實(shí)，“×××只有數(shù)學(xué)意義，沒有物理意義”這樣的“命題”誰也沒有證明過，也是無法證明的，它最多只能算是猜想。只要有一個(gè)反例就可被推翻，本文已經(jīng)舉出了多個(gè)反例，說明它是完全錯(cuò)誤的。教師絕不該把錯(cuò)誤的猜想說成真理，更不能寫在書上和幻燈片上去誤導(dǎo)學(xué)生。數(shù)學(xué)是更抽象、更深刻地描述物理現(xiàn)象的工具，而物理是實(shí)證的科學(xué)。限于條件，人們往往暫時(shí)還認(rèn)識(shí)不到數(shù)學(xué)定理的物理意義。數(shù)學(xué)超前物理是科學(xué)史上多次出現(xiàn)的現(xiàn)象，比如虛數(shù)、非歐氏幾何等。這時(shí)應(yīng)該努力去理解它，認(rèn)識(shí)它，而不是輕易地放棄它、否定它。自己沒想通，沒找到的事物，不能說它不存在。給學(xué)生講課時(shí)，只能說“我們目前還沒有想通×××的物理意義”。這才能表明教師在科學(xué)上的嚴(yán)肅和謙遜，也有助于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)鉆研和創(chuàng)新精神。
6．結(jié)束語
討論這個(gè)問題，不僅是理論上的探討，對(duì)于提高教學(xué)質(zhì)量是有重大意義的。今天，信息技術(shù)如此的發(fā)展，很大程度是由于深入大量地開發(fā)頻譜資源的結(jié)果。在同學(xué)剛進(jìn)入這個(gè)資源庫的時(shí)候，我們要引導(dǎo)他們對(duì)這個(gè)寶藏發(fā)生極大的興趣，非常珍惜這個(gè)寶藏，去深鉆，去挖掘它的每一點(diǎn)潛力。不能為了省事，為了堵住學(xué)生的好奇提問，輕率地、毫無根據(jù)地一句話就把頻譜的負(fù)頻率半邊扔掉了。在入門的時(shí)候，當(dāng)然不可能把本文說的概念統(tǒng)統(tǒng)灌輸給學(xué)生，要順序漸進(jìn)。但老師首先要有更寬廣的知識(shí)面和更科學(xué)的思維方法，教出的學(xué)生的才會(huì)具備更多的想象力和創(chuàng)造性。
作者：陳懷琛,方海燕 西安電子科技大學(xué)
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