【導(dǎo)讀】補(bǔ)償器是使控制系統(tǒng)在動態(tài)運(yùn)行中快速穩(wěn)定的電子濾波器。在絕大多數(shù)研究中，補(bǔ)償器是置于運(yùn)算放大器(運(yùn)放)周圍的一個有源電路，其特性完美。文本共有兩部分，這第一部分主要介紹開環(huán)增益的影響,第二部分將探討這些額外的極點(diǎn)的影響，并展示如果沒有適當(dāng)選擇，它們會如何影響最終結(jié)果。
補(bǔ)償器是使控制系統(tǒng)在動態(tài)運(yùn)行中快速穩(wěn)定的電子濾波器。在絕大多數(shù)研究中，補(bǔ)償器是置于運(yùn)算放大器(運(yùn)放) 周圍的一個有源電路，其特性鑒定為完美。如果這種方法適用于低帶寬系統(tǒng)，如今的轉(zhuǎn)換器即使輸出電容小，只要交越頻率超過100千赫就能確保足夠快的瞬態(tài)響應(yīng)以限制輸出壓降。在這些應(yīng)用中，若一個完美運(yùn)放不行的話，最終會導(dǎo)致嚴(yán)重的增益和相位失真。如果展示開環(huán)增益和所選運(yùn)放的低、高頻兩個極點(diǎn)如何影響整體動態(tài)響應(yīng)，您就可選擇恰當(dāng)?shù)脑獬绊懡辉剿璧脑鲆婧拖辔恍阅鼙碚?。文本共有兩部分，這第一部分主要介紹開環(huán)增益的影響，特意先不談低頻和高頻兩極點(diǎn)。第二部分將探討這些額外的極點(diǎn)的影響，并展示如果沒有適當(dāng)選擇，它們會如何影響最終結(jié)果。
不同補(bǔ)償器的類別
補(bǔ)償器的作用是形成一個給定電路的頻率響應(yīng)-例如降壓轉(zhuǎn)換器-以便一旦閉環(huán)，控制系統(tǒng)表現(xiàn)出所需的交越頻率fc和適當(dāng)?shù)南辔?增益裕度。補(bǔ)償器通過提供在fc的一些中期波段的增益或衰減強(qiáng)行形成0 dB交越點(diǎn)。相位裕度?m由補(bǔ)償器在fc表現(xiàn)出的相位增量(phase boost)調(diào)節(jié)。最后，增益裕度取決于交越后補(bǔ)償器調(diào)降增益的能力。
補(bǔ)償器有不同的類型，其在開關(guān)轉(zhuǎn)換器中通常稱為type 1、type 2和type 3。所有三個型號在原點(diǎn)都有一個極點(diǎn)以提供最大可用準(zhǔn)靜態(tài)增益（S = 0），從而提供一個精確的輸出變量。type-1補(bǔ)償器是個簡單的積分電路，完全不提供相位增量。type 2基于type 1，增加了一個極/零對，最多有90°的相位增量，常見于電流模式電源，可提供大量補(bǔ)償。最后，type-3電路提供另一個極零對，可增加相位達(dá)180°。圖1所示為三種補(bǔ)償器的頻率響應(yīng)（幅值和相位）及各自的傳遞函數(shù)表達(dá)式。
圖1：您選擇的補(bǔ)償器與您想要的相位增量有關(guān)。
type-2補(bǔ)償器常見于電流模式電源，其相位增量最大達(dá)90°，可提供大量補(bǔ)償。圖2所示為它置于運(yùn)算放大器周圍的電路圖。您可看到檢測所監(jiān)測變量（本例中的輸出電壓Vout）的一個電阻分壓器和幾個形成濾波器的無源元件。為確定該轉(zhuǎn)換器的傳遞函數(shù)，我們將首先考量運(yùn)放的開環(huán)增益AOL，并看看它如何影響最終的表達(dá)式。該電路的傳遞函數(shù)G是聯(lián)系激勵信號Vout到輸出響應(yīng)VFB的數(shù)學(xué)關(guān)系。
圖2：在該補(bǔ)償器中，我們認(rèn)為運(yùn)放具有有限的開環(huán)增益，但尚不考慮其內(nèi)部極點(diǎn)。
簡介快速分析電路技術(shù)（FACT）
有許多確定濾波器動態(tài)響應(yīng)的方法，本文將使用如快速分析電路技術(shù)（Fast Analytical Technique，簡稱FACT）。FACT的基本原理是確定在兩個不同條件下的電路時間常數(shù)：激勵信號消失（Vout降至0V）時和響應(yīng)清零（VFB = 0）時。通過使用這種技術(shù)，您將領(lǐng)會用它確定一個特定的傳遞函數(shù)有多快速和直觀。
一個具有非零準(zhǔn)靜態(tài)增益的一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可表示為：
（1）首項(xiàng)G0是S=0時系統(tǒng)表現(xiàn)出的增益。視情況而定，該項(xiàng)帶有單位。在這里，因?yàn)槲覀兯f的增益是[V]/[V]，沒有單位，G是無量綱的。分子的N(s)控制傳遞函數(shù)的零點(diǎn)。在數(shù)學(xué)上，零點(diǎn)是個特定的點(diǎn)sz，無信號響應(yīng)。從理論上講，考慮到激勵信號覆蓋整個s面（諧波模式下不僅在垂直軸），當(dāng)輸入信號調(diào)到零角頻率sz，零點(diǎn)表現(xiàn)為無信號的輸出響應(yīng)。電路中一些特定阻抗組合阻擋了信號傳播，響應(yīng)為0V，盡管存在激勵源。零點(diǎn)是分子的根。請注意這是個實(shí)用的數(shù)學(xué)抽象，極其有助于通過檢測找到零點(diǎn)，無需寫一連串代數(shù)。
分母D(s)由電路自然時間常數(shù)構(gòu)成。通過設(shè)置激勵信號為0和確定這種結(jié)構(gòu)中所考慮的電容或電感“所示”的阻抗而得出這些時間常數(shù)?=RC或?=L/R。如您想象把歐姆表置于暫時移除的電容或電感器，并讀取它顯示的電阻。這其實(shí)是個相當(dāng)簡單的運(yùn)用?？纯磮D3無源電路，可看到一個注入源(換言之，一個激勵源)正加偏壓于左邊回路。輸入信號通過網(wǎng)格和節(jié)點(diǎn)傳播，形成您看到的電阻R3上的響應(yīng)。
圖3：確定電路的時間常數(shù)需要將激勵源設(shè)為0，并看看從電路中暫時移除的儲能元件所提供的電阻。
為確定本示例電路的時間常數(shù)，我們將激勵源設(shè)為0（一個0V電壓源短路和0A電流源開路），拆下電容器。然后，我們連接（在腦海中想象）一個歐姆表，以確定由電容器端提供的電阻。圖4引導(dǎo)您進(jìn)行這些步驟。
圖4：在0V源短路后，您確定電容器端的電阻。
如果您按圖4進(jìn)行運(yùn)用，您“想象”R1與R2并聯(lián)后與與R4串聯(lián)，所有這些與R3并聯(lián)后與rC串聯(lián)。該電路的時間常數(shù)只通過R和C1即可計(jì)算得出：
（2）我們可證明，一階系統(tǒng)的極點(diǎn)是其時間常數(shù)的倒數(shù)。因此：
（3）現(xiàn)在，s = 0時這個電路的準(zhǔn)靜態(tài)增益是多少？在直流條件下，電感器短路，電容器開路。把這概念應(yīng)用于圖3的電路，繪制如圖5所示。您想象在R4前斷開連接，會看到一個含R1和R2的電阻分壓器。R2上的戴維寧(Thévenin)電壓為：
（4）輸出電阻Rth 是R1與R2并聯(lián)的值。因此完整的傳遞函數(shù)涉及到電阻分壓器(由與Rth 串聯(lián)的R4和加載的R3所構(gòu)成)。rC是斷開的，由于電容C1在這直流分析中被拆下。因此：
（5）
圖5：您斷開直流電路中的電容器，計(jì)算這簡單的電阻配置的傳遞函數(shù)。
我們?nèi)绾沃朗欠裼辛泓c(diǎn)？嗯，這里有個有用的技巧：您想象圖3的電路，使電容C1短路?，F(xiàn)在假設(shè)您為具有短路電容器的電路提供激勵信號。您能夠基于示波器觀察Vout的響應(yīng)嗎？當(dāng)然rC使R3短路，盡管振幅可能低，輸入信號仍會傳輸并有響應(yīng)。若“盡管C1短路但仍有響應(yīng)”，那么有與C1有關(guān)的零點(diǎn)。處理含電感L1的電路亦然(但采用電感開路)。
我們前面提到，零點(diǎn)通過阻斷激勵信號的傳播而在電路中表現(xiàn)出來，輸出響應(yīng)為0。如果我們考慮一個變形電路–其中C1由1/SC1代替–如圖6所示，當(dāng)激勵源加偏壓于電路，有什么特定的條件意味著無信號響應(yīng)？無信號響應(yīng)只意味流過R3的電流為0。如果電阻沒有電流，沒有電壓施加和Vout是0V，這不是短路，而是虛擬的接地。
圖6：在這變形電路中，當(dāng)串聯(lián)的rC和C1轉(zhuǎn)化為短路，響應(yīng)消失。
如果R3沒有電流，那么串聯(lián)的rC和1/SC1轉(zhuǎn)化為短路：
（6）根sz是我們需要的零點(diǎn)位置：
（7）從而有：
（8）現(xiàn)在，我們可以組合所有這些結(jié)果，形成以圖3電路為特征的最終的傳遞函數(shù)：
（9）這就是所謂的低熵表達(dá)式，您可立即識別增益、極點(diǎn)和零點(diǎn)。高熵表達(dá)式將在考量阻抗分壓器時通過施加大規(guī)模外力到原來的電路來獲得，例如：
（10）不只您可能在推導(dǎo)表達(dá)式時犯錯誤--我也會！但是將結(jié)果格式化到像（9）這樣需要更多的精力。此外，請注意，在寫（9）時我們沒有寫一行代數(shù)。如果我們后來發(fā)現(xiàn)一個錯誤，那么易于回到一個單獨(dú)的圖紙并單獨(dú)修正它。（9）的校正將是容易的。現(xiàn)在嘗試對（10）進(jìn)行相同的修正，您可能會從頭開始。您比對一下，在Mathcad®表繪制的表達(dá)式（9）和（10）的頻率響應(yīng)是相同的，如圖7所示。
圖7：快速M(fèi)athcad®說明用FACT推導(dǎo)出的表達(dá)式是否與由原表達(dá)式返回的響應(yīng)相匹配。
FACT的簡介意在說明，無論對簡單電路還是更復(fù)雜的電路使用它們，都很簡單和高效。通過將一個復(fù)雜的體系結(jié)構(gòu)分解為簡單的單獨(dú)的電路，您可以很快地寫出傳遞函數(shù)，有時只需觀察就能寫出，正如我們所做的那樣。既然我們已介紹了工具，讓我們把它應(yīng)用到我們的type 2補(bǔ)償器中。
FACT應(yīng)用于Type-2補(bǔ)償器
為高效地將FACT運(yùn)用到圖2的電路，我們先考慮儲能元件：C1和C2。考慮到它們的獨(dú)立狀態(tài)可變—如它們不是串聯(lián)的或并行的--這是個二階系統(tǒng)。考慮非零準(zhǔn)靜態(tài)增益，該系統(tǒng)可以表示為：
（11）對于二階系統(tǒng)，我們可以證明分母遵循下列公式：
（12）系數(shù)s僅僅是確定零點(diǎn)激勵源的時間常數(shù)之和。S²系數(shù)稍復(fù)雜，因其引入了一個新的符號：t1 2 。此符號意味著您“想象”的C2兩端的阻抗，而C1由短路取代。乍一看有點(diǎn)難以理解，但我們稍解釋就會明白。
按照求解圖3電路的途徑，我們可研究s = 0的系統(tǒng)，如圖8所示。在分析的過程中，Vref是個完美的源及其動態(tài)響應(yīng)為0（忽略我們應(yīng)用的調(diào)制，它的電壓是固定的）。因此，它自然不存在于小信號電路，在交流分析中采用短路的形式。
圖8：在直流條件下，斷開所有的電容：運(yùn)算放大器運(yùn)行于開環(huán)配置。
運(yùn)算放大器提供的電壓相當(dāng)于開環(huán)增益AOL的?倍。反相引腳的電壓與低邊阻抗Rlower有關(guān)，在這種情況下，?是個非零的值：
（13）在這個電路中，有兩個電容，因此有兩個單獨(dú)的時間常數(shù)。為確定與C2有關(guān)的第一個時間常數(shù)，我們將激勵信號設(shè)為0，確定C2的阻抗，C2連接端子，而C1從電路中移除，如圖9所示。
圖9：第一個時間常數(shù)與電容C2有關(guān)：在C2兩端的阻抗是多少？
如果在前面的示例中檢驗(yàn)得很好，但電壓控制源的存在(即運(yùn)算放大器)-用這簡單的方法是行不通的。為確定由C2端提供的阻抗，我們可連接測試生成器IT，和確定其兩端的電壓VT。然后VT/IT會給我們提供想要的阻抗。涉及電流源的草圖如圖10所示.。您可寫的第一個簡單的等式與?有關(guān)。運(yùn)算放大器的輸入引腳之間的電壓是施加在并聯(lián)的R1和Rlower兩端的電壓的負(fù)值：
（14）
圖10：您裝上一個測試發(fā)生器以確定C2兩端的阻抗。
運(yùn)算放大器的輸出為開環(huán)增益AOL的?倍。因此：
（15）將(14)代入(15)得出：
（16）VT是電流源的電壓。在其左側(cè)端有負(fù)的?而右側(cè)有偏壓VFB：
（17）如果我們從（17）提取VFB，結(jié)合（16）的結(jié)果，我們有：
（18）阻抗可簡單地寫為：
（19）因此第一個時間常數(shù)?2表示為：
（20）第二個時間常數(shù)與C1有關(guān)，需要更新的原理圖，如圖11所示。我們沒有裝電流發(fā)生器，因?yàn)榻Y(jié)果很明顯：C1兩端的電阻就是已經(jīng)確定的C2與R2 串聯(lián)后的電阻：
圖11：立即確定第二個時間常數(shù)，因?yàn)樗荂2與R2串聯(lián)的驅(qū)動電阻。
（21）我們有兩個時間常數(shù)，可進(jìn)行第二階項(xiàng)。我們需要評估 ，其中C2被短路，我們看C1兩端的電阻。圖12所示為新的草圖。既然我們在涉及R2的回路中有弗蘭克短路，那么電阻R就是R2：
（22）因此，如果我們根據(jù)（12）組合時間常數(shù)，得出分母D(s) ：
（23）
圖12：高頻系數(shù)用了罕見的符號但最終并不復(fù)雜：C2短路，只需確定C1兩端的電阻。
該二階表達(dá)式可重新排列，假設(shè)質(zhì)量因子Q遠(yuǎn)小于1。在這種情況下，兩個極點(diǎn)完全分離：一個控制低頻，而第二個位于頻譜的上部。由（12）我們可以證明，兩個極點(diǎn)定義為：
（24）
（25）如果我們將這些定義應(yīng)用到（23），簡化和重新排列，得到：
（26）
（27）現(xiàn)在有了分母，那么這個電路有零點(diǎn)嗎？我們可以運(yùn)用前述的技巧：如果我們想象，C1或C2短路，然后C1和C2短路，這三個配置有響應(yīng)嗎？如果C1短路，我們有一個含R2和其他電阻的簡單的逆變器：有個與C1有關(guān)的零點(diǎn)。如果C2短路，則運(yùn)算放大器為0： C2沒有零點(diǎn)。如果兩個電容器都短路，當(dāng)然，沒有響應(yīng)。為確定零點(diǎn)位置，圖13中的什么可以防止激勵源的傳播，使響應(yīng)無輸出信號？如果C1和R2短路，那么響應(yīng)消失：
（28）然后
（29）
圖13：如果R2與C1的串聯(lián)轉(zhuǎn)換為短路，那后沒信號的響應(yīng)：這就解釋了零點(diǎn)是如何產(chǎn)生的。
其中給出了零點(diǎn)位于：
（30）現(xiàn)在有最終的傳遞函數(shù)
（31）及
（32）
（33）
（34）
（35）比較電路之間的響應(yīng)
現(xiàn)在比較由type-2電路(其中我們考慮開環(huán)增益)帶來的動態(tài)響應(yīng)是有意義的，下面給出了type 2完美的傳遞函數(shù)：
（36）其中
（37）
（38）
（39）舉例說明，我們對比理想的運(yùn)放和開環(huán)增益為50 dB的運(yùn)放（例如TL431），此時補(bǔ)償器必須滿足以下目標(biāo)：fc = 10 kHz和在此頻率的增益補(bǔ)償20 dB，相位增量必須是65°。R1和Rlower計(jì)算用于12V輸出和2.5 V參考電壓。（31）和（36）的兩個動態(tài)響應(yīng)如圖14所示。交越增益和相位增量的偏差可以忽略不計(jì)。然而，在120赫茲頻率時（31）的增益為35 dB，（36）則為45dB。最后，有限的AOL選項(xiàng)的準(zhǔn)靜態(tài)增益僅36.4 dB（?66），而無限時則為完美的運(yùn)算放大器。這些數(shù)字的影響是什么？增益少兩倍時，電源頻率將影響控制系統(tǒng)的能力，抑制整流紋波。輸出變量可能會受到此元件的影響，特別是在電壓模式控制下。此外，若植入增益低，控制變量可能有顯著的靜態(tài)誤差。若您現(xiàn)在選擇具有更高AOL的運(yùn)放如80 dB，偏差消失，兩曲線相互非常接近，如圖15所示。
圖14：在type 2的波特圖中，我們認(rèn)為開環(huán)增益AOL和低邊電阻Rlower并沒有太大影響原完美的方程式。
圖15：當(dāng)開環(huán)增益AOL增加，兩條曲線很好地重疊。準(zhǔn)靜態(tài)增益提高到66.3dB，對比于采用50dB AOL增益時的36 dB。
總結(jié)
這第一部分證明了在補(bǔ)償器中采用非理想的運(yùn)算放大器時開環(huán)增益的影響。假如運(yùn)算放大器不是完美的，您可以看到動態(tài)響應(yīng)中在低頻范圍內(nèi)弱開環(huán)增益的影響，來評估這種情況導(dǎo)致的性能下降。在這第一部分中，我們只考慮開環(huán)增益的影響。在第二部分中，我們將復(fù)雜化分析，將集成電路設(shè)計(jì)人員自然置于一個運(yùn)算放大器中以確保穩(wěn)定性的低頻和高頻兩個極點(diǎn)考慮進(jìn)來。
作者：Christophe Basso，安森美半導(dǎo)體公司
本文來源于電子技術(shù)設(shè)計(jì)。
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