【導(dǎo)讀】超過(guò)二分之一采樣率的頻率成分，是混疊到有用頻帶中的。混疊在很多時(shí)候都是帶有副作用的，尤其是在模數(shù)轉(zhuǎn)換級(jí)之前，要簡(jiǎn)單濾除欠采樣的較高頻率。所以設(shè)計(jì)者會(huì)利用欠采樣，使得混疊在模數(shù)轉(zhuǎn)換系統(tǒng)中作為混頻器工作。本文就來(lái)介紹一下濾波器的立足之本——抗混疊。
濾波是一種我們往往視為當(dāng)然的常見(jiàn)過(guò)程。我們?cè)诖螂娫挄r(shí)，接收器濾除其它所有信道，使我們僅僅接收到特定的信道。當(dāng)我們調(diào)節(jié)立體聲系統(tǒng)的均衡器時(shí)，利用帶通濾波器選擇性增大或降低特定頻帶的音頻信號(hào)。
濾波器在幾乎所有數(shù)據(jù)采樣系統(tǒng)中扮演著重要角色。大多數(shù)模/數(shù)轉(zhuǎn)換器(ADC)都安裝有濾波器，濾除超出ADC范圍的頻率成分。有些ADC在其結(jié)構(gòu)本身上就具有濾波功能。
我們接下來(lái)討論數(shù)據(jù)采樣系統(tǒng)、濾波要求以及與混疊的關(guān)系。
背景
數(shù)據(jù)采樣系統(tǒng)能夠高精度處理的最大頻率成分稱為其奈奎斯特極限。采樣率必須大于或等于輸入信號(hào)最高頻率的兩倍。如果違反該規(guī)則，在有用頻帶內(nèi)就會(huì)出現(xiàn)多余或有害的信號(hào)，稱之為“混疊”。
例如，為了數(shù)字化1kHz信號(hào)，要求最低采樣率為2kHz。在實(shí)際應(yīng)用中，采樣率通常較高，以提供一定的裕量，降低濾波要求。
為幫助理解數(shù)據(jù)采樣系統(tǒng)和混疊，我們以傳統(tǒng)的電影攝影為例。
在西部老片中，當(dāng)馬車加速時(shí)，車輪正常加速轉(zhuǎn)動(dòng)，然后看起來(lái)車輪速度卻變慢了，再然后似乎停止了。當(dāng)馬車進(jìn)一步加速時(shí)，車輪看起來(lái)像在倒轉(zhuǎn)。實(shí)際上，我們知道馬車沒(méi)有倒走，因?yàn)槠渌鼊?dòng)作都一切正常。什么原因造成了這種現(xiàn)象？答案就是：幀速率不夠高，不足以準(zhǔn)確捕獲車輪的轉(zhuǎn)動(dòng)。
為幫助理解，假設(shè)在馬車車輪上貼一個(gè)看得到的標(biāo)記，然后車輪轉(zhuǎn)動(dòng)。然后我們按時(shí)間拍攝照片(或采樣)。由于電影攝影機(jī)通過(guò)每秒捕獲一定數(shù)量的照片來(lái)捕獲動(dòng)作，所以本質(zhì)上是數(shù)據(jù)采樣系統(tǒng)。就像膠片采用車輪的離散圖像一樣，ADC捕獲的是運(yùn)動(dòng)電信號(hào)的一系列快照。
當(dāng)馬車首次加速時(shí)，采樣率(電影攝影機(jī)的幀速率)遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于車輪的轉(zhuǎn)速，所以滿足奈奎斯特條件。攝像機(jī)的采樣率高于車輪轉(zhuǎn)速的兩倍，所以能夠準(zhǔn)確描述車輪的運(yùn)動(dòng)，我們看到車輪加速的樣子(圖1a和1b)。
在奈奎斯特極限下，我們?cè)?80度范圍內(nèi)看到兩個(gè)點(diǎn)(圖1c)。人眼一般很難明確分辨這兩個(gè)點(diǎn)的時(shí)間，這兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)出現(xiàn)，車輪表現(xiàn)為停止。在這種車輪轉(zhuǎn)速下，轉(zhuǎn)動(dòng)速率是已知的(根據(jù)采樣率)，但搞不清楚轉(zhuǎn)動(dòng)方向。當(dāng)馬車?yán)^續(xù)加速時(shí)，不再滿足奈奎斯特條件，看到車輪的方式可能有兩種：我們“看到”車輪在正轉(zhuǎn)，其他人則看到是倒轉(zhuǎn)(圖1d)。
馬車車輪的例子
圖1.馬車車輪的例子。
這兩種方向都可以看做是正確的方向，取決于您如何“看”車輪，但我們知道已經(jīng)發(fā)生了信號(hào)混疊。也就是說(shuō)，系統(tǒng)中出現(xiàn)了有害的頻率成分，我們不能將其與真實(shí)值區(qū)分開(kāi)，同時(shí)出現(xiàn)了正轉(zhuǎn)和倒轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)信息。我們一般看到倒轉(zhuǎn)成分或正轉(zhuǎn)成分的“約數(shù)”或“鏡像”。由于是眼/腦相結(jié)合的方式處理數(shù)據(jù),因此我們并不能察覺(jué)到車輪前轉(zhuǎn)的主要信息。另一種有意思的現(xiàn)象是采樣率與車輪轉(zhuǎn)速嚴(yán)格相等時(shí)，由于標(biāo)記始終出現(xiàn)在車輪的相同位置，所以數(shù)據(jù)幾乎沒(méi)有提供有用信息。在這種情況下，沒(méi)有人能清楚車輪在轉(zhuǎn)動(dòng)還是靜止。
現(xiàn)在轉(zhuǎn)入數(shù)學(xué)領(lǐng)域，假設(shè)車輪為單位圓，采用正弦和余弦坐標(biāo)。如果在余弦值的正向和負(fù)向峰值采樣(180度錯(cuò)相)，那么就滿足奈奎斯特條件，能夠利用兩個(gè)采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)重構(gòu)原始余弦值。所以，奈奎斯特極限是重構(gòu)原始信號(hào)的關(guān)鍵。當(dāng)增加的點(diǎn)越來(lái)越多時(shí)，復(fù)現(xiàn)原始信號(hào)的能力就提高了。
轉(zhuǎn)到頻域，圖2所示為采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。注意，數(shù)據(jù)在采樣率的倍數(shù)處重復(fù)(原始信號(hào)的“鏡像”)；這是采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)的一種基本特征。圖2a中，滿足奈奎斯特條件，有用頻帶內(nèi)沒(méi)有混疊現(xiàn)象。然而，在圖2b中，由于有用頻帶內(nèi)的最高頻率大于二分之一采樣率，不再滿足奈奎斯特條件。重疊的區(qū)域發(fā)生了混疊；頻率為fT的信號(hào)也出現(xiàn)在fT\\\\\\\''處，與馬車車輪的混疊相似。
圖2a.采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)頻率響應(yīng)，無(wú)混疊。
圖2b.采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)頻率響應(yīng)，發(fā)生混疊。
欠采樣
欠采樣是一種功能強(qiáng)大的工具，可有效用于所選應(yīng)用。欠采樣允許ADC作為一個(gè)混頻器，能夠接收調(diào)制高頻載波信號(hào)并產(chǎn)生較低頻率的鏡像。這種方式下，就像下變頻器。另一種主要優(yōu)點(diǎn)是允許ADC的采樣率低于奈奎斯特頻率，一般具有較明顯的成本優(yōu)勢(shì)。例如，假設(shè)調(diào)制載波為10MHz，帶寬為100kHz(±50kHz，中心頻率為10MHz)。以4MHz進(jìn)行欠采樣，產(chǎn)生1階和與差項(xiàng)(f1+f2和f1-f2)，分別為14MHz和6Mz；2階項(xiàng)(2f1、2f2、2f1+f2、f1+2f2、|2f1-f2|、|f1-2f2|)，分別為8MHz、20MHz、18MHz、2MHz、24MHz和16MHz。出現(xiàn)在2MHz處的鏡像信號(hào)為有用信號(hào)。注意，我們的原始信號(hào)在10MHz，通過(guò)對(duì)其進(jìn)行數(shù)字化在2MHz產(chǎn)生了鏡像。現(xiàn)在，我們可以在數(shù)字域進(jìn)行信號(hào)處理(濾波和混頻)，恢復(fù)原始50kHz信號(hào)。該過(guò)程無(wú)需大幅的模擬處理，這是其主要優(yōu)勢(shì)之一。由于所有處理都在數(shù)字域完成，如果需要對(duì)電路的性能和特性進(jìn)行更改，只需修改軟件即可。相對(duì)而言，對(duì)于模擬設(shè)計(jì)，如果需要更改電路性能，需要改變電路硬件元件和布局，并且成本相當(dāng)高。
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欠采樣的一項(xiàng)缺點(diǎn)是有用頻帶內(nèi)可能出現(xiàn)有害信號(hào)，您不能將其與有用信號(hào)區(qū)分開(kāi)。此外，欠采樣時(shí)，ADC輸入的頻率范圍往往非常寬。在上例中，即使采樣率為4MHz，ADC前端仍然必須采樣10MHz信號(hào)。相對(duì)而言，如果在ADC之前利用模擬混頻器將調(diào)制載波信號(hào)向下搬移到基帶，那么ADC的輸入帶寬只需要為50kHz，而非4MHz，降低了ADC前端和輸入濾波要求。
圖3a.欠采樣示例。
圖3b.欠采樣數(shù)字化的鏡像信號(hào)(1階和2階)。
過(guò)采樣
過(guò)采樣提供所謂的處理增益。在過(guò)采樣時(shí)，以較高采樣頻率獲得多出實(shí)際需要的采樣數(shù)量，然后對(duì)數(shù)據(jù)濾波，從而有效降低系統(tǒng)的噪底(假設(shè)噪聲為寬帶白噪聲)。這不同于平均，后者是獲取很多采樣，噪聲被平均。可以這么理解過(guò)采樣：如果輸入信號(hào)來(lái)自于掃描頻率的信號(hào)源，頻譜則可以分為多個(gè)范圍或“容器”，每個(gè)容器的帶寬固定。寬帶噪聲分散在整個(gè)有用頻率范圍內(nèi)，所以每個(gè)容器具有特定量的噪聲。現(xiàn)在，如果提高采樣率，那么頻率容器的數(shù)量也增多。在這種情況下，出現(xiàn)的噪聲量仍相同，但我們有更多的容器可供容納噪聲。然后我們利用濾波器濾除超出有用頻帶的噪聲。結(jié)果就是每個(gè)容器的噪聲減少，所以就通過(guò)過(guò)采樣有效降低了系統(tǒng)的噪底。
舉例說(shuō)明，如果我們有一個(gè)2kspsADC(下式中使用1kHz奈奎斯特極限)和1kHz信號(hào)，ADC之后為1kHz數(shù)字濾波器，處理增益由下式給出：-10×log(1kHz/1kHz)=0dB。如果們將采樣率增大至10ksps，處理增益現(xiàn)在為-10×log(1kHz/5kHz)=7dB，或者說(shuō)大約1位分辨率(1位大約相當(dāng)于信噪比(SNR)提高6dB)。通過(guò)過(guò)采樣，噪聲沒(méi)有減少，而是分散在更寬的帶寬內(nèi)；將部分噪聲置于有用帶寬范圍之外，效果就相當(dāng)于減少了噪聲。這種噪聲改善基于以下公式：
SNR改善(dB)=10×LOGA/B，其中A等于噪聲，B等于過(guò)采樣噪聲。
表述這一過(guò)程的另一種方式是：過(guò)采樣降低了帶內(nèi)RMS量化噪聲，系數(shù)為過(guò)采樣率的平方根。或者，如果噪聲降低二分之一，則相當(dāng)于3dB有效處理增益。不要忘了，我們這里僅討論了寬帶噪聲。過(guò)采樣不能簡(jiǎn)單消除其它噪聲源和其他誤差。
抗混疊濾波器
有了以上背景知識(shí)后，我們現(xiàn)在討論抗混疊濾波器。在選擇濾波器時(shí)，目標(biāo)是提供一個(gè)截止頻率，能從ADC輸入中消除有害信號(hào)或至少將其衰減至不對(duì)電路形成負(fù)面影響。抗混疊濾波器是滿足這一要求的低通濾波器。如何選擇正確的濾波器？需要考慮的關(guān)鍵參數(shù)是在通帶內(nèi)的衰減量(或紋波)、阻帶內(nèi)的預(yù)期濾波器滾降、過(guò)渡區(qū)域的陡度，以及不同頻率通過(guò)濾波器時(shí)的相位關(guān)系(圖4a)。
圖4a.實(shí)際濾波器。
理想濾波器具有“磚墻”響應(yīng)(圖4b)，也就是說(shuō)其過(guò)渡比是無(wú)限大的。然而，在實(shí)際應(yīng)用中不可能存在這種情況。滾降越陡，濾波器的“Q”或品質(zhì)因子越高；Q因子越高，濾波器的設(shè)計(jì)就越復(fù)雜。較高的Q因子會(huì)造成濾波器不穩(wěn)定以及在相應(yīng)的拐點(diǎn)頻率下自振。選擇濾波器的關(guān)鍵是了解干擾信號(hào)的頻率及對(duì)應(yīng)幅值。例如，對(duì)于手機(jī)，設(shè)計(jì)者知道鄰近信號(hào)的最差工作條件幅值和位置，從而有針對(duì)性地進(jìn)行設(shè)計(jì)。并不是所有信號(hào)都能在頻域預(yù)測(cè)，甚至有些已知干擾信號(hào)太大，不能足夠地衰減。但是，根據(jù)環(huán)境和應(yīng)用，您可考慮已知干擾和設(shè)計(jì)，最大程度降低隨機(jī)干擾，確保工作更可靠。
圖4b.理想濾波器。
已知有用信號(hào)頻率后，利用簡(jiǎn)單的濾波程序確定所需的濾波器結(jié)構(gòu)，以滿足通帶、阻帶和過(guò)渡區(qū)域要求。在四種基本濾波器類型中，每種都有其各自的優(yōu)勢(shì)(圖5)。
例如，巴特沃斯(Butterworth)濾波器的通帶區(qū)域最平坦，意味著在相應(yīng)頻率范圍內(nèi)的衰減最小；貝塞爾(Bessel)濾波器的滾降較平緩，但其主要優(yōu)勢(shì)是線性相位響應(yīng)，意味著每種頻率成分在通過(guò)濾波器時(shí)的延時(shí)是相等的；由于群延遲定義為相位響應(yīng)相對(duì)于頻率的偏差，所以線性相位響應(yīng)通常指的是固定群延遲。切比雪夫(Chebyshev)濾波器的滾降較陡，但在通帶內(nèi)紋波較大。橢圓(Elliptic)濾波器的滾降最陡。對(duì)于最簡(jiǎn)單的抗混疊濾波器，簡(jiǎn)單的單極點(diǎn)無(wú)源RC濾波器往往是可以接受的。在其它情況下，有源濾波器(即使用運(yùn)放)比較合適。有源濾波器的一項(xiàng)優(yōu)勢(shì)是多階濾波器，濾波器對(duì)外部元件值不太敏感，特別是濾波器的“Q”值。
抗混疊濾波器通常不必嚴(yán)格對(duì)應(yīng)拐點(diǎn)頻率的位置，所以設(shè)計(jì)時(shí)具有一定余地。例如，如果您需要最大平坦度，但在通帶內(nèi)仍然有太大衰減，只需將拐點(diǎn)頻率移遠(yuǎn)即可解決問(wèn)題。如果阻帶衰減太小，則可提高濾波器的極點(diǎn)數(shù)。另一種方案是在濾波后將信號(hào)放大，提高信號(hào)相對(duì)于有害信號(hào)的幅值。
Maxim具有多種低功耗、低通濾波器可供選擇，可用于抗混疊；其中包括MAX7490(＄4.1371)通用開(kāi)關(guān)電容濾波器、MAX740x/MAX741x家族尺寸最小的低功耗低通開(kāi)關(guān)電容濾波器，以及MAX274(＄6.6953)/MAX275(＄1.3342)通用連續(xù)時(shí)間方式濾波器。Maxim也提供豐富的低功耗高精度運(yùn)放，適用于希望自己設(shè)計(jì)濾波器的用戶。
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