【導(dǎo)讀】如果采用網(wǎng)格節(jié)點（mesh-node）分析能很好地求解電路的傳遞函數(shù)，那么立即獲得一個有意義的符號公式通常是不可能的，需要額外的工作才能得出。應(yīng)用經(jīng)典的分析技術(shù)來獲得所謂的低熵表達式–即分數(shù)形式，從中您可識別增益、極點和零點–往往導(dǎo)致如Middlebrook博士曾在他的文獻[1]、[2]中提到的代數(shù)失效（algebraic paralysis）。
在此，快速分析電路技術(shù)（FACTs）可幫助您基于您在大學(xué)里學(xué)到的東西而擴展，以大大簡化分析。通過使用FACTs，不僅加快您的執(zhí)行速度，而且最終結(jié)果將以有序的多項式形式出現(xiàn)，通常無需進一步的因子分解工作[3]、[4]。
本文首先介紹后文用于確定開關(guān)轉(zhuǎn)換器的控制到輸出傳遞函數(shù)的FACTs。這個主題很大，在此我們只談及表面，希望激勵您進一步挖掘這個主題。我們選擇了電壓模式耦合電感單端初級電感轉(zhuǎn)換器（SEPIC）工作于非連續(xù)導(dǎo)電模式（DCM）。PWM開關(guān)[5]將用于形成小信號模型。
01 快速分析技術(shù)(FACTs)簡介
FACTs背后的基本原理在于電路時間常數(shù)的確定–t=RC或t=L/R–此時在兩種不同的條件下觀察所研究的電路：當(dāng)激勵信號降至0時和響應(yīng)清零時。通過使用這種技術(shù)，您將體會到確定特定傳遞函數(shù)有多快和直觀。基于這種方法的分析技術(shù)始于幾十年前，如[6]和[7]中記載的。
傳遞函數(shù)是一種數(shù)學(xué)關(guān)系，它把激勵信號、激勵物，和由這種激勵產(chǎn)生的響應(yīng)信號聯(lián)系起來。如果我們考慮一個線性時不變（LTI）系統(tǒng)無延時，具有靜態(tài)增益H0–例如開關(guān)轉(zhuǎn)換器的線性理想功率級-其連接控制信號Verr（激勵）和輸出Vout（響應(yīng)）的傳遞函數(shù)H可表示為：
（1）首項H0是系統(tǒng)在s=0評估表現(xiàn)出的增益或衰減。該項將帶傳遞函數(shù)的單位（或維度），如果有的話。如果響應(yīng)和激勵都用伏特表示，在此我們表示為Verr和Vout，H是沒有單位的。分子N(s)控制傳遞函數(shù)的零點。數(shù)學(xué)意義上，零點是函數(shù)幅值為零的根。通過FACTs，我們用數(shù)學(xué)抽象思維以輕松地揭開這些零點。我們不會像通常在諧波分析（s=jw）中所做的僅僅考慮在s平面的垂直軸，而是覆蓋考慮到負數(shù)根的整個平面。
因此，如果電路存在零點，將表現(xiàn)為當(dāng)輸入信號調(diào)到零角頻率sz時無信號的輸出響應(yīng)。在這種情況下，在變形的電路中的一些阻抗阻擋了信號傳播，響應(yīng)為零，盡管存在激勵源：當(dāng)變形的電路在s=sz點被激勵時，在信號路徑的串聯(lián)阻抗趨于無窮或分支將該激勵分流到地面。
請注意，這種方便的數(shù)學(xué)抽象通過觀察提供了巨大的幫助來找到零點，通常無需寫一行無源電路的代數(shù)。圖1提供了簡單的流程圖，詳細介紹了過程。關(guān)于這種方法的更多細節(jié)見[8]。
圖1：這個簡單的流程圖將指導(dǎo)您用最簡單的方法確定零點。在觀察無用時，您將需要進行雙重抵消注入或NDI。
翻譯參考▽
● Bring the excitation signal – the stimulus – back in place：將該激勵信號 – 激勵-帶回原處
● Null the output：將輸出清零
● Identify in the transformed network, one or several impedances combinations that could block the stimulus propagation: a ● transformed open circuit or a transformed short circuit.：在變形的電路中找到一個或一些可阻擋激勵傳播的阻抗組合：一個變形的開路電路或變形的短路電路
● Signal：信號
● To response : 到響應(yīng)
● If inspection is not possible, go for a Null Double Injection（NDI）：若觀察無用，則進行雙重抵消注入(NDI)
分母D(s)由電路自然時間常數(shù)構(gòu)成。通過設(shè)置激勵信號為0和確定從電路中臨時移除的所考慮的電容或電感“所示”的阻抗，來得出這些時間常數(shù)。
通過“觀察”，您可想象把一個歐姆表置于暫時移除的儲能元件（C或L），并讀取它顯示的電阻。這其實是個相當(dāng)簡單的運用，正如圖2中的第二個流程圖所詳述的。
圖2：該流程圖解釋了用于確定電路時間常數(shù)的方法。
翻譯參考▽
● Count energy-storing elements with independent state variables：計算具有獨立狀態(tài)變量的儲能元件
● Assume there are two energy-storing element, L1 and C2：假設(shè)有兩個儲能元件，L1和C2
● The denominator follow the form：分母遵循此公式
● Open the capacitor, short the inductor, determine the dc gain H0 if it exists：電容開路，電感短路，確定直流增益H0，若H0存在
● Reduce the excitation to 0 and determine time constants for b1 and b2：減小激勵至零，并確定b1和b2的時間常數(shù)
● Determine the resistance Ri driving LI while C2 is open circuited：確定驅(qū)動L1而C2 開路時的阻抗Ri
● Determine the resistance Rj driving C2 while LI is short circuited：確定驅(qū)動C2 而L1短路時的阻抗Rj
● Sum the time constants：將時間常數(shù)相加
● Determine the resistance Rk driving LI while C2 is short circuited：確定驅(qū)動L1而C2 短路時的阻抗Rk
● Determine the resistance Rl driving C2 while LI is open circuited：確定驅(qū)動C2 而L1開路時的阻抗Rl
● Choose the simplest combination：選擇最簡單的組合
看到圖3，是一個涉及注入源的一階無源電路—該激勵源—加偏壓于左邊網(wǎng)絡(luò)。輸入信號Vin通過網(wǎng)格和節(jié)點傳播，形成您看到的電阻R3上的響應(yīng)Vout。我們感興趣的是導(dǎo)出連接Vout和Vin的傳遞函數(shù)G。
圖3：確定電路的時間常數(shù)需要將激勵源設(shè)為0，并看看從電路中暫時移除的能量存儲元件所提供的電阻。
翻譯參考▽
● The response：響應(yīng)
為確定本例電路的時間常數(shù)，我們將激勵源設(shè)為0（由短路代替0V電壓源，開路代替0A電流源），拆下電容器。然后，我們連接一個歐姆表來確定電容器端提供的電阻。圖4指導(dǎo)您進行這些步驟。
圖4：由短路代替0V源后確定電容器端的電阻。
翻譯參考▽
● The excitation is set to 0：激勵源設(shè)為零
● For example：例如
如果用圖4的做法，您“看到” R1與R2并聯(lián)后與R4串聯(lián)，所有這些與R3并聯(lián)后與rC串聯(lián)。該電路的時間常數(shù)只通過R和C1即可計算得出：
（2）我們可證明第一階系統(tǒng)的極點是其時間常數(shù)的倒數(shù)。因此：
（3）現(xiàn)在，s=0時該電路的準靜態(tài)增益是多少？在直流條件下，電感器短路，電容器開路。把這概念應(yīng)用于圖3的電路，繪制成如圖5所示。想象在R4前斷開連接，會看到一個含R1和R2的電阻分壓器。R2上的戴維寧(Thévenin)電壓為：
（4）輸出電阻Rth是R1與R2并聯(lián)的值。因此完整的傳遞函數(shù)涉及到電阻分壓器(由與Rth串聯(lián)的R4和加載的R3所構(gòu)成)。rC是斷開的，由于電容C1在這直流分析中被移除。因此：
（5）
圖5：您斷開直流電路中的電容器，計算這簡單的電阻配置的傳遞函數(shù)。
基本就是這些了，我們正錯過零點。我們在前文提到，零點通過阻斷激勵信號的傳播而在電路中表現(xiàn)出來，產(chǎn)生一個無信號的輸出響應(yīng)（見圖1）。
若我們考慮一個變形的電路–其中C1由代替–如圖6，當(dāng)激勵源加偏壓于電路，有什么特定的條件意味著無信號響應(yīng)？無信號響應(yīng)只意味流過R3的電流為0。這不是短路，而是相當(dāng)于虛擬的接地。
圖6：在這變形的電路中，當(dāng)串聯(lián)的rC和C1轉(zhuǎn)化為變形的短路，響應(yīng)消失，R3中無電流流過。
如果在R3中沒有電流，那么串聯(lián)的rC和轉(zhuǎn)化為短路：
（6）根sz是我們想要的零點位置：
（7）從而有：
（8）現(xiàn)在我們可組合所有這些結(jié)果，形成以圖3電路為特征的最終的傳遞函數(shù)：
（9）這就是所謂的低熵表達式，從中您可立即識別靜態(tài)增益G0、極點wp和零點wz。高熵表達式將在考慮阻抗分壓器時通過施加大規(guī)模外力到原來的電路來獲得，如：
（10）您不只在推導(dǎo)表達式時可能會出錯—而且將結(jié)果格式化到像（9）這樣需要更多的精力。另外，請注意，在這特定的例子中，在寫（9）時我們沒有寫一行代數(shù)。如果我們后來發(fā)現(xiàn)一個錯誤，那么很容易回到一個單獨的圖紙并單獨修復(fù)它。（9）的校正很簡單。現(xiàn)嘗試對（10）進行相同的修正，您可能會從頭開始。
02 FACTs應(yīng)用于二階系統(tǒng)
FACTs同樣適用于n階無源或有源電路。通過計算狀態(tài)變量是獨立的儲能元件的數(shù)量來確定電路的階數(shù)。若我們考慮一個具有有限的靜態(tài)增益H0的二階系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)可表示如下：
（11）當(dāng)H0帶傳遞函數(shù)的單位，那么N:D的比值是沒有單位的。這意味著a1和b1的單位是時間[s]。當(dāng)a1無信號響應(yīng)，b1的激勵源為零，您將確定的時間常數(shù)相加。
對于二階系數(shù)，a2或b2，維度是時間的平方[s²]，你將時間常數(shù)結(jié)合為一個產(chǎn)物。然而，在這時間常數(shù)產(chǎn)物中，您重用了已經(jīng)確定為a1或b1的一個時間常數(shù)，而二階時間常數(shù)的確定需要一個不同的符號：
（12）在這個定義中，您設(shè)置標號出現(xiàn)在“冪” 中的儲能元件處于高頻狀態(tài)（電容被短路，電感被開路），當(dāng)我們暫時從電路中移除二階元件端（參見下標），您可從中確定電阻。當(dāng)a2必須為無信號的輸出和b2的激勵源減為0時，您可運用此法。
當(dāng)然，當(dāng)觀察有用時，它總是最快和最高效的得出N的方法。乍一看有點難以理解，但沒有什么不可克服的，我們用幾句話解釋您就會明白。
圖7：工作于CCM的降壓轉(zhuǎn)換器的輸出阻抗的確定是一個很好的例子，演示了FACTs如何簡化分析。
翻譯參考▽
● Voltage-mode：電壓模式
● Small-signal mode：小信號模式
圖7是一個經(jīng)典的二階濾波器，用于確定在連續(xù)導(dǎo)通模式（CCM）中工作的電壓模式降壓轉(zhuǎn)換器的輸出阻抗。阻抗是連接一個激勵信號Iout與響應(yīng)信號Vout的一個傳遞函數(shù)。
此處，Iout是我們已安裝的測試生成器，而Vout是其兩端產(chǎn)生的電壓。要從（11）中確定各種系數(shù)，我們可按照圖2的流程圖，從s = 0開始：如圖所示，電感短路，電容開路。該電路是簡單的，電流源的電阻R0不過是rL和Rload簡單的并列組合：
（13）這個電路中有零點嗎？我們看看圖8所示的變形電路。我們看看當(dāng)激勵源電流Iout調(diào)為零角頻率sz時，什么樣的元件組合將使響應(yīng)Vout為零。我們可發(fā)現(xiàn)兩個變形的短路涉及rL–L1和rc–C2。
圖8：如果阻抗Z1或Z2轉(zhuǎn)換為短路，響應(yīng)Vout為無信號輸出。
立即確定這兩個阻抗的根：
（14）
（15）因此分母N(s)表示為
（16）分母D(s)的一階系數(shù)b1是由L1兩端的阻抗提供，而C2處于直流狀態(tài)（開路）：有t1。然后看驅(qū)動C2而L1設(shè)置為直流狀態(tài)（短路）時的阻抗：得出t2。如圖9所示，從該草圖可立即得出b1的定義：
（17）
圖9：在選定的組件終端中，當(dāng)?shù)诙€組件處于直流狀態(tài)時，您會得出阻抗為多少？
二階系數(shù)b2是用（12）中引入的符號來確定的。L1設(shè)置在其高頻狀態(tài)（開路），驅(qū)動C2以得到的阻抗，C2處于高頻狀態(tài)（短路），則驅(qū)動L1而得到的阻抗。圖10顯示了兩種可能的整理結(jié)果。
您通常選擇最簡單的表達式，或避免不確定性的一個，如果有的話(如∞×0或∞/∞)。下面對于b2的兩個定義是相同的，您看上面的是最簡單的：
（18）現(xiàn)在我們有所有的成分來組合最終的傳遞函數(shù)，定義為：
（19）我們已經(jīng)確定了這個傳遞函數(shù)，而沒有寫一行代數(shù)，只是拆分該電路為幾個簡單的草圖個別解決。
此外，正如預(yù)期的那樣，（19）已經(jīng)是一個規(guī)范的表達式，您可輕易的看到一個靜態(tài)增益、兩個零點和一個可用一個諧振分量w0和一個品質(zhì)因數(shù)Q進一步整理的二階分母。如果不是迅速考慮Z1、Z2 和Rload的并聯(lián)組合，我們不可能得到這一結(jié)果。
圖10：在選定的組件終端中，當(dāng)?shù)诙€組件處于高頻狀態(tài)時，您會得出阻抗為多少？
采用FACTs，通過觀察可導(dǎo)出傳遞函數(shù)，特別是對于無源電路。由于電路復(fù)雜，包括電壓或電流控制源，觀察起來沒那么明顯，您需要利用經(jīng)典的網(wǎng)格和節(jié)點分析。但FACTs提供了幾個優(yōu)點：由于您將電路拆分為用于確定最終的多項式表達式系數(shù)的小的單個草圖，因此如果在最終的表達式中發(fā)現(xiàn)一個錯誤，您總是可以回到一個特定的繪圖并個別修正。
此外，當(dāng)您確定與傳遞函數(shù)的ai和bi相關(guān)的項時，您自然會得到一個多項式表達式，而不用投入進一步的精力來收集和重新排列這些項。最后，如[4]所示，在復(fù)雜的無源和有源電路中，SPICE對驗證個別極點和零點的計算有很大幫助。
未完待續(xù)，下周六見...
References
參考文獻
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6. D. Feucht, Design-Oriented Circuit Dynamics, http://www.edn.com/electronics-blogs/outside-the-box-/4404226/Design-oriented-circuit-dynamics
7. D. Peter, We Can do Better: A Proven, Intuitive, Efficient and Practical Design-Oriented Circuit Analysis Paradigm is Available, so why aren''''''''t we using it to teach our Students?,
http://www.icee.usm.edu/ICEE/conferences/asee2007/papers/1362_WE_CAN_DO_BETTER__A_PROVEN__INTUITIVE__E.pdf
8. C. Basso, Fast Analytical Techniques at Work with Small-Signal Modeling, APEC Professional Seminar, Long Beach (CA), 2016, http://cbasso.pagesperso-orange.fr/Spice.htm
9. J. Betten, Benefits of a coupled-inductor SEPIC, slyt411, application note, Texas-Instruments.
10. C. Basso, Switch-Mode Power Supplies: SPICE Simulation and Practical Designs, McGraw-Hill, 2nd edition, 2014.
11. D. Maksimovic, R. Erickson, Advances in Averaged Switch Modeling and Simulation, Power Electronic Specialist Conference Professional Seminar, Charleston, 1999
作者簡介
Christophe Basso
安森美半導(dǎo)體法國圖盧茲 Technical Fellow
他擁有超過20年的電子電路設(shè)計經(jīng)驗，在電力電子轉(zhuǎn)換領(lǐng)域擁有近30項專利，他原創(chuàng)了許多集成電路芯片，其中代表性為NCP120X系列，它重新定義了電源低待機功耗設(shè)標準。
Christophe Basso出版了多部著作，《開關(guān)模式 SPICE 仿真和實用設(shè)計》深受廣大工程師的歡迎并二次改版，《為線性和開關(guān)電源設(shè)計控制回路：教程指南》為工程師設(shè)計補償和環(huán)路穩(wěn)定性提供了實用指南，《線性電路傳遞函數(shù)：介紹快速分析技術(shù)》以說教的方式，為學(xué)生和需要強大的工具以快速分析日常工作中的復(fù)雜電子電路的工程師提供對電路分析的不同角度。
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